2004年，英國(guó)的科學(xué)期刊《物理世界》舉辦了一個(gè)活動(dòng)：讓讀者選出科學(xué)史上最偉大的公式。結(jié)果，麥克斯韋方程組力壓質(zhì)能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。

麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統(tǒng)一了電和磁，并預(yù)言光就是一種電磁波，這是物理學(xué)家在統(tǒng)一之路上的巨大進(jìn)步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優(yōu)美，并且描述了經(jīng)典電磁學(xué)的一切。但是，真正能看懂這個(gè)方程組的人卻不多，因?yàn)樗幌褓|(zhì)能方程、勾股定理這樣簡(jiǎn)單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學(xué)才正式學(xué)習(xí)微積分。

不過(guò)大家也不用擔(dān)心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微復(fù)雜，但是它的物理內(nèi)涵確是非常簡(jiǎn)單的。而且，微積分也不是特別抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，大家只要跟著長(zhǎng)尾科技的思路，看懂這個(gè)“最偉大“的方程也不會(huì)是什么難事~

01電磁統(tǒng)一之路

電和磁并沒(méi)有什么明顯的聯(lián)系，科學(xué)家一開始也是獨(dú)立研究電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象的。這并不奇怪，誰(shuí)能想到閃電和磁鐵之間會(huì)有什么聯(lián)系呢？

1820年，奧斯特在一次講座上偶然發(fā)現(xiàn)通電的導(dǎo)線讓旁邊的小磁針偏轉(zhuǎn)了一下，這個(gè)微小的現(xiàn)象并沒(méi)有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對(duì)這個(gè)現(xiàn)象進(jìn)行了三個(gè)月的窮追猛打，最后發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，也就是說(shuō)電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。

消息一出，物理學(xué)家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進(jìn)行深入研究。怎么研究呢？奧斯特只是說(shuō)電流周圍會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，那么這個(gè)電流在空間中產(chǎn)生的磁場(chǎng)是怎么分布的呢？比方說(shuō)一小段電流在空間某個(gè)地方產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發(fā)現(xiàn)某個(gè)規(guī)律之后必然要試圖定量地把它描述出來(lái)，這樣我不僅知道它，還可以精確的計(jì)算它，才算完全了解。

三個(gè)月，在奧斯特正式發(fā)表他的發(fā)現(xiàn)僅僅三個(gè)月之后，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產(chǎn)生磁場(chǎng)大小的定量規(guī)律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說(shuō)，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產(chǎn)生磁場(chǎng)的大小，但是這種方法在實(shí)際使用的時(shí)候會(huì)比較繁瑣。

又過(guò)了兩個(gè)月之后，安培發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更實(shí)用更簡(jiǎn)單的計(jì)算電流周圍磁場(chǎng)的方式，這就是安培環(huán)路定理。順便，安培還總結(jié)了一個(gè)很實(shí)用的規(guī)律來(lái)幫你判斷電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的方向，這就是安培定則（也就是高中學(xué)的右手螺旋定則）。

至此，電生磁這一路的問(wèn)題“似乎”基本解決了，我們知道電流會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，而且能夠用安培環(huán)路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計(jì)算這個(gè)磁場(chǎng)的大小，用安培定則判斷磁場(chǎng)的方向。那么，我們現(xiàn)在知道怎么單獨(dú)描述電和磁，知道了電怎么生磁，秉著對(duì)稱的思想，我怎么樣都要去想：既然電能夠生磁，那么磁能不能生電呢？

由于種種原因，奧斯特在1820年發(fā)現(xiàn)了電生磁，人類直到11年后的1831年，才由天才實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家法拉第發(fā)現(xiàn)了磁生電的規(guī)律，也就是電磁感應(yīng)定律。法拉第發(fā)現(xiàn)磁能生電的關(guān)鍵就是：他發(fā)現(xiàn)靜止的磁并不能生電，一定要變化的磁才能生電。

發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)定律之后，我們知道了磁如何生電，有了安培環(huán)路定理，我們就知道電流如何產(chǎn)生磁場(chǎng)。咋一看，有關(guān)電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實(shí)不然，我們知道安培環(huán)路定理是從奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流周圍會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)這一路推出來(lái)的，所以它只能處理電流周圍表示磁場(chǎng)的情況。

但是，如果沒(méi)有電流呢？如果我壓根就沒(méi)有導(dǎo)線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場(chǎng)發(fā)生了變化，那么這樣能不能產(chǎn)生磁場(chǎng)呢？大家不要覺(jué)得我胡攪蠻纏，你想想，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，變化的磁場(chǎng)是可以產(chǎn)生電場(chǎng)的。所以，我會(huì)反過(guò)來(lái)猜想變化的電場(chǎng)能否產(chǎn)生磁場(chǎng)并不奇怪。而這，正好是安培環(huán)路定理缺失的部分。

于是，麥克斯韋就對(duì)安培環(huán)路定理進(jìn)行了擴(kuò)充，把變化的電場(chǎng)也能產(chǎn)生磁場(chǎng)這一項(xiàng)也添加了進(jìn)去，補(bǔ)齊了這最后一塊短板。

到這里，電和磁的統(tǒng)一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這里我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經(jīng)典電磁學(xué)的一切，而且它是由四個(gè)方程組成的。那么，如果讓你選擇四個(gè)方程來(lái)描述電磁里的一切，你大致會(huì)選擇四個(gè)什么樣的方程呢？

此處思考一分鐘……

我不知道大家是怎么考慮的，反正我覺(jué)得下面這條思路是很自然的：如果要用四個(gè)方程描述電磁的一切，那么我就用第一個(gè)方程描述電，第二個(gè)方程描述磁，第三個(gè)方程描述磁如何生電，第四個(gè)方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～

所以，我們學(xué)習(xí)麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個(gè)方程優(yōu)雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現(xiàn)象的。接下來(lái)我們就來(lái)一個(gè)個(gè)地看。

02庫(kù)侖的發(fā)現(xiàn)

在奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之前，人類已經(jīng)單獨(dú)研究電研究了好長(zhǎng)時(shí)間，人們發(fā)現(xiàn)電荷有正負(fù)兩種，而且同性相斥，異性相吸。后來(lái)庫(kù)倫發(fā)現(xiàn)了電荷之間相互作用的定量關(guān)系，它發(fā)現(xiàn)電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說(shuō)，如果我把兩個(gè)電荷之間的距離擴(kuò)大為原來(lái)的兩倍，這兩個(gè)電荷之間的作用力就會(huì)減少為原來(lái)的四分之一，擴(kuò)大為三倍就減少為九分之一。

這個(gè)跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴(kuò)大為原來(lái)的兩倍，引力的大小減少為原來(lái)的四分之一。為什么大自然這么偏愛“平方反比”規(guī)律呢？因?yàn)槲覀兩钤谝粋€(gè)各向同性的三維空間里。

什么意思？我們可以想想：假設(shè)現(xiàn)在有一個(gè)點(diǎn)源開始向四面八方傳播，因?yàn)樗鼣y帶的能量是一定的，那么在任意時(shí)刻能量達(dá)到的地方就會(huì)形成一個(gè)球面。而球面的面積公式S=4πr2（r為半徑），它是跟半徑的平方r2成正比的，這也就是說(shuō)：我們同一份能量在不同的時(shí)刻要均勻的分給4πr2個(gè)部分，那么每個(gè)點(diǎn)得到的能量就自然得跟4πr2成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來(lái)源。

因此，如果我們生活在四維空間里，我們就會(huì)看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學(xué)家們尋找高維度的一個(gè)方法。許多理論（比如超弦理論）里都有預(yù)言高維度，科學(xué)家們就去很小的尺度里測(cè)量引力，如果引力在一個(gè)很小的尺度里不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發(fā)現(xiàn)了額外的維度。

好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律后，要猜出靜電力的公式就是很簡(jiǎn)單的事情了。因?yàn)楹苊黠@的，兩個(gè)電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關(guān)，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規(guī)律，兩個(gè)電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：

這就是我們中學(xué)學(xué)的庫(kù)倫定律：兩個(gè)電荷之間的靜電力跟兩個(gè)電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數(shù)。q1、q2就是兩個(gè)電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數(shù)（先不管它是啥意思，知道是個(gè)跟電相關(guān)的常數(shù)就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr2赫然出現(xiàn)在分母里，這是三維空間平方反比規(guī)律的代表。

庫(kù)倫定律是一個(gè)實(shí)驗(yàn)定律，也就說(shuō)庫(kù)倫做了很多實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)電荷之間確實(shí)存在著一個(gè)這么大小的靜電力，但是它并沒(méi)有告訴你這個(gè)靜電力是如何傳遞的。兩個(gè)并沒(méi)有接觸的物體之間存在某種力，一個(gè)常見的想法就是這兩個(gè)物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那么這種東西是什么呢？有人認(rèn)為是以太，有人認(rèn)為是某種彈性介質(zhì)，但是法拉第說(shuō)是力線，而且這種力線不是什么虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實(shí)在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現(xiàn)在熟知的場(chǎng)。

03電場(chǎng)的疊加

有了場(chǎng)，我們就可以更加細(xì)致的描述兩個(gè)電荷之間的相互作用了。為什么兩個(gè)電荷之間存在這樣一個(gè)靜電力呢？因?yàn)殡姾蓵?huì)在周圍的空間中產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)又會(huì)對(duì)處在其中的電荷產(chǎn)生一個(gè)力的作用。這個(gè)電場(chǎng)的強(qiáng)度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點(diǎn)電場(chǎng)的方向。所以，電場(chǎng)具有大小和方向，這是一個(gè)矢量。

為了直觀形象的描述電場(chǎng)，我們引入了電場(chǎng)線。電場(chǎng)線的密度剛好就代表了電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，而某點(diǎn)電場(chǎng)線的切線方向就代表了該處電場(chǎng)的方向。一個(gè)正電荷就像太陽(yáng)發(fā)光一樣向四周發(fā)射電場(chǎng)線，負(fù)電荷就匯集電場(chǎng)線。

這些內(nèi)容大家在中學(xué)的時(shí)候應(yīng)該都學(xué)了，我就一筆帶過(guò)，接下來(lái)我們考慮一個(gè)稍微復(fù)雜一點(diǎn)的問(wèn)題：庫(kù)倫定律告訴了我們兩個(gè)點(diǎn)電荷之間靜電力的大小，那么我們就可以根據(jù)這個(gè)求出一個(gè)點(diǎn)電荷周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度。然而，一個(gè)點(diǎn)電荷是最簡(jiǎn)單的情況，如果帶電源再?gòu)?fù)雜一點(diǎn)呢？如果我有很多個(gè)電荷，或者說(shuō)我直接就是一塊形狀不規(guī)則的帶電體，這時(shí)候我們要怎么求它產(chǎn)生的電場(chǎng)呢？

一個(gè)很簡(jiǎn)單自然的想法就是：如果有很多個(gè)電荷，我就把每個(gè)電荷在這點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度算出來(lái)，再把它們疊加起來(lái)就行了。如果這是一個(gè)連續(xù)的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個(gè)帶電體切成無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)窮小的部分，這樣每一個(gè)無(wú)窮小的部分就可以看做一個(gè)點(diǎn)電荷，然后把這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷在那點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加起來(lái)（就是積分）就行了。

我們上面的思路其實(shí)就是秉著“萬(wàn)物皆可切成點(diǎn)，萬(wàn)物皆可積”的精神，強(qiáng)行讓庫(kù)倫定律和微積分聯(lián)姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場(chǎng)強(qiáng)。這在原理上是行得通的，沒(méi)問(wèn)題，但是在具體操作上就很復(fù)雜了，有沒(méi)有更簡(jiǎn)單優(yōu)雅一點(diǎn)的辦法呢？

有，不過(guò)這需要我們換個(gè)角度看問(wèn)題。物理學(xué)研究物體運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律，但是物體時(shí)時(shí)刻刻都處在變化之中，你要怎么去尋找它的規(guī)律呢？這里就涉及到科學(xué)研究的一個(gè)重要思想：把握變化世界里那些不變的東西。

牛頓發(fā)現(xiàn)一切物體在運(yùn)動(dòng)中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運(yùn)動(dòng)，受到什么樣的力，這個(gè)東西只由物體的密度和體積決定，于是牛頓從中提煉出了質(zhì)量的概念（當(dāng)然，現(xiàn)在質(zhì)量是比密度體積更基本的概念）；科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)物體在各種變化的過(guò)程中有某種守恒的東西，于是提煉出了能量的概念。那么，帶電體在周圍空間中產(chǎn)生電場(chǎng)的過(guò)程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？

04通量的引入

我們先不管電，先來(lái)看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，

我在一個(gè)水龍頭的出口處裝一個(gè)噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場(chǎng)線一樣），然后我用一個(gè)完全透水（水能夠自由的穿過(guò)塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來(lái)。那么，從水龍頭出來(lái)的所有的水都必須穿過(guò)這個(gè)塑料袋，然后才能去其他地方，穿過(guò)這個(gè)塑料袋的表面是所有水的必經(jīng)之路。

這個(gè)看似平常的現(xiàn)象后面卻隱藏了這樣一個(gè)事實(shí)：無(wú)論塑料袋有多大，是什么形狀，只要你是密封的。那么，從水龍頭流出的水量就一定等于通過(guò)這個(gè)塑料袋表面的水量。

從這里，我們就抽象出來(lái)了一個(gè)非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過(guò)一個(gè)曲面的某種流量，通過(guò)塑料袋表面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說(shuō)成水龍頭的出水量等于塑料袋的水通量了。

好，水的事就先說(shuō)到這里，我們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)看看電。還是用上面的實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)在我們把水龍頭換成一個(gè)正電荷，我們還是用一個(gè)完全透電（對(duì)電沒(méi)有任何阻力）的塑料袋套住一個(gè)正電荷，那會(huì)發(fā)生什么呢？水龍頭的噴頭散發(fā)的是水流，正電荷“散發(fā)”的是電場(chǎng)線；通過(guò)該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那么電場(chǎng)線通過(guò)塑料袋的數(shù)量自然就叫塑料袋的電通量。對(duì)于水通量，我們知道它等于水龍頭的出水量，那么塑料袋的電通量等于什么呢？

我們知道，之所以會(huì)有電場(chǎng)線，是因?yàn)榭臻g中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度就越大，電場(chǎng)線就越密，那么穿過(guò)塑料袋的電場(chǎng)線的數(shù)量就越多，對(duì)應(yīng)的電通量就越大。所以，我們雖然無(wú)法確定這個(gè)電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個(gè)塑料袋包含的電荷量有關(guān)，而且是正相關(guān)。

這就是在告訴我們：通過(guò)一個(gè)閉合曲面的電通量跟曲面內(nèi)包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過(guò)這個(gè)任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個(gè)方程——高斯電場(chǎng)定律的核心思想。

把這個(gè)思想從電翻譯到水上面去就是：通過(guò)一個(gè)閉合曲面的水量是這個(gè)曲面內(nèi)包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過(guò)這個(gè)閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經(jīng)接近“廢話”了~所以，大家面對(duì)那些高大上的公式方程的時(shí)候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它非常簡(jiǎn)單自然。

我們?cè)賮?lái)審視一下高斯電場(chǎng)定律的核心思想：通過(guò)一個(gè)閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那么，我們要怎么樣把這個(gè)思想數(shù)學(xué)化呢？電荷的總量好說(shuō)，就是把所有電荷的帶電量加起來(lái)，那么通過(guò)一個(gè)閉合曲面的電通量要怎么表示呢？

05電場(chǎng)的通量

我們先從最簡(jiǎn)單的情況看起。

問(wèn)題1：我們假設(shè)空間里有一個(gè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，然后有一個(gè)面積為a的木板跟這個(gè)電場(chǎng)方向垂直，那么，通過(guò)這個(gè)木板的電通量Φ要怎么表示呢？

我們想想，我們最開始是從水通過(guò)曲面的流量來(lái)引入通量的，到了電這里，我們用電場(chǎng)線通過(guò)一個(gè)曲面的數(shù)量表示電通量。而我們也知道，電場(chǎng)線的密度代表了電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。所以，我們就能很明顯的發(fā)現(xiàn)：電場(chǎng)強(qiáng)度越大，通過(guò)木板的電場(chǎng)線數(shù)量越多；木板的面積越大，通過(guò)木板的電場(chǎng)線數(shù)量越多。而電場(chǎng)線的數(shù)量越多，就意味著電通量越大。

因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度E是一個(gè)矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對(duì)值|E|來(lái)表示E的大小，那么我們直接用電場(chǎng)強(qiáng)度的大小|E|和木板面積a的乘積來(lái)表示電通量的大小是非常合理的。也就是說(shuō)，通過(guò)木板的電通量Φ=|E|×a。

木板和電場(chǎng)線方向相互垂直是最簡(jiǎn)單的情況，如果木板和電場(chǎng)的方向不垂直呢？

問(wèn)題2：還是上面的木板和電場(chǎng)，如果木板跟電場(chǎng)的方向不是垂直的，它們之間有一個(gè)夾角θ，那這個(gè)電通量又要怎么求呢？

如上圖，首先，我們能直觀地感覺(jué)到：當(dāng)木板不再和電場(chǎng)方向垂直的時(shí)候，這個(gè)木板被電場(chǎng)線穿過(guò)的有效面積減小了。原來(lái)長(zhǎng)度為AB的面都能擋住電場(chǎng)線，現(xiàn)在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場(chǎng)線的變成了BC這個(gè)面。

然后，我們?cè)賮?lái)談一談曲面的方向，可能很多人都認(rèn)為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實(shí)不是的，我們是用一個(gè)垂直于這個(gè)平面的向量的方向表示這個(gè)平面的方向，這個(gè)向量就叫這個(gè)平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個(gè)跟木板垂直的法向量n，那么這個(gè)法向量n和電場(chǎng)E的夾角才是木板這個(gè)平面和電場(chǎng)的夾角θ。

AB、BC和θ之間存在一個(gè)非常簡(jiǎn)單的三角關(guān)系：BC=AB×cosθ（因?yàn)閵A角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形里鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時(shí)候通過(guò)木板的電通量Φ=|E|×|a|，那么，當(dāng)它們之間有一個(gè)夾角θ的時(shí)候，通過(guò)木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。

06矢量的點(diǎn)乘

到了這里，我們就必須稍微講一點(diǎn)矢量和矢量的乘法了。

通俗地講，標(biāo)量是只有大小沒(méi)有方向的量。比如說(shuō)溫度，房間某一點(diǎn)的溫度就只有一個(gè)大小而已，并沒(méi)有方向；再比如質(zhì)量，我們只說(shuō)一個(gè)物體的質(zhì)量是多少千克，并不會(huì)說(shuō)質(zhì)量的方向是指向哪邊。而矢量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說(shuō)一輛汽車的速度不僅要說(shuō)速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說(shuō)力，你去推桌子，這個(gè)推力不僅有大?。Q定能不能推動(dòng)桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。

標(biāo)量因?yàn)橹挥写笮](méi)有方向，所以標(biāo)量的乘法可以直接像代數(shù)的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，矢量因?yàn)榧扔写笮∮钟蟹较?，所以你兩個(gè)矢量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個(gè)矢量，一個(gè)矢量的方向向北，另一個(gè)向東，那么它們相乘之后得到的結(jié)果還有沒(méi)有方向呢？如果有，這個(gè)方向要怎么確定呢？

這就是說(shuō)，我們從小學(xué)開始學(xué)習(xí)的那種代數(shù)乘法的概念，在矢量這里并不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規(guī)則，比如我們最常用的點(diǎn)乘（符號(hào)為‘·’）。你兩個(gè)標(biāo)量相乘就是直接讓兩個(gè)標(biāo)量的大小相乘，我現(xiàn)在矢量不僅有大小還有方向，那么這個(gè)方向怎么體現(xiàn)呢？簡(jiǎn)單，我不讓你兩個(gè)矢量的大小直接相乘，而是讓一個(gè)矢量的投影和另一個(gè)矢量的大小相乘，這樣就既體現(xiàn)了大小又體現(xiàn)了方向。

如上圖，我們有兩個(gè)矢量OA和OB（線段的長(zhǎng)短代表矢量的大小，箭頭的方向代表矢量的方向），我們過(guò)A點(diǎn)做AC垂直于OB（也就是OA往OB方向上投影），那么線段OC的長(zhǎng)度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根據(jù)三角函數(shù)的定義，一個(gè)角度θ的余弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（絕對(duì)值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大?。?。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ。

既然兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘被定義為一個(gè)矢量的投影和和另一個(gè)矢量大小的乘積，現(xiàn)在我們已經(jīng)得到了投影OC的表達(dá)式，那么矢量OA和OB的點(diǎn)乘就可以表示為：

OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。

為什么我們上面明明還在講電場(chǎng)通過(guò)一個(gè)平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆矢量的點(diǎn)乘的東西呢？因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度也是一個(gè)矢量，它有大小也有方向（電場(chǎng)線的密度代表大小，電場(chǎng)線的方向代表它的方向）；平面其實(shí)也是一個(gè)矢量，平面的大小不用說(shuō)了，平面的方向是用垂直于這個(gè)平面的法向量來(lái)表示的。而且，我們?cè)倩仡櫼幌庐?dāng)平面跟電場(chǎng)方向有一個(gè)夾角θ的時(shí)候，通過(guò)這個(gè)平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ。這是不是跟上面兩個(gè)矢量點(diǎn)乘右邊的形式一模一樣？

也就是說(shuō)，如果我們從矢量的角度來(lái)看：電場(chǎng)E通過(guò)一個(gè)平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個(gè)矢量（電場(chǎng)和平面）的點(diǎn)乘，即Φ=E·a（因?yàn)楦鶕?jù)點(diǎn)乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）。

這種表述既簡(jiǎn)潔又精確，你想想，如果你不使用矢量的表述，那么你在公式里就不可避免地會(huì)出現(xiàn)很多和夾角θ相關(guān)的地方。更關(guān)鍵的是，電場(chǎng)強(qiáng)度和平面本來(lái)就都是矢量，你使用矢量的運(yùn)算天經(jīng)地義，為什么要用標(biāo)量來(lái)代替它們呢？

總之，我們知道一個(gè)電場(chǎng)通過(guò)一個(gè)平面的電通量可以簡(jiǎn)潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了。但是，高斯電場(chǎng)定律的核心思想是通過(guò)閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這里得到的只是一個(gè)電場(chǎng)通過(guò)一個(gè)平面的電通量，一個(gè)平面和一個(gè)閉合曲面還是有相當(dāng)大的區(qū)別的。

07閉合曲面的電通量

知道怎么求一個(gè)平面的電通量，要怎么求一個(gè)曲面的電通量呢？

這里就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了。我們都知道我們生活在地球的表面，而地球表面其實(shí)是一個(gè)球面，那么，為什么我們平常在路上行走時(shí)卻感覺(jué)不到這種球面的彎曲呢？這個(gè)答案很簡(jiǎn)單，因?yàn)榈厍蚝艽?，?dāng)我們從月球上遙望地球的時(shí)候，我們能清晰地看到地球表面是一個(gè)彎曲的球面。但是，當(dāng)我們把范圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時(shí)候，我們就感覺(jué)不到地球的這種彎曲，而是覺(jué)得我們行走在一個(gè)平面上。

地球的表面是一個(gè)曲面，但是當(dāng)我們只關(guān)注地面非常小的一塊空間的時(shí)候，我們卻覺(jué)得這是一個(gè)平面。看到?jīng)]有，一個(gè)曲面因?yàn)槟撤N原因變成了一個(gè)平面，而我們現(xiàn)在的問(wèn)題不就是已知一個(gè)平面的電通量，要求一個(gè)曲面的電通量么？那么地球表面的這個(gè)類比能不能給我們什么啟發(fā)呢？

彎曲的地球表面在小范圍內(nèi)是平面，這其實(shí)是在啟發(fā)我們：我們可以把一個(gè)曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細(xì)，保證每一小塊都足夠小，那么我們是可以把這個(gè)小塊近似當(dāng)作平面來(lái)處理的。而且不難想象，我把這個(gè)曲面分割得越細(xì)，它的每一個(gè)小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來(lái)就會(huì)越接近這個(gè)曲面本身。

下面是重點(diǎn)：如果我們把這個(gè)曲面分割成無(wú)窮多份，這樣每個(gè)小塊的面積就都是無(wú)窮小，于是我們就可以認(rèn)為這些小塊加起來(lái)就等于這個(gè)曲面了。這就是微積分最樸素的思想。

如上圖，我們把一個(gè)球面分割成了很多塊，這樣每一個(gè)小塊就變成了一個(gè)長(zhǎng)為dx，寬為dy的小方塊，這個(gè)小方塊的面積da=dx·dy。如果這個(gè)小塊的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，那么通過(guò)這個(gè)小塊的電通量就是E·da。如果我們我們把這個(gè)球面分割成了無(wú)窮多份，那么把這無(wú)窮多個(gè)小塊的電通量加起來(lái)，就能得到穿過(guò)這個(gè)曲面的總電通量。

這個(gè)思想總體來(lái)說(shuō)還是很簡(jiǎn)單的，只是涉及到了微積分最樸素的一些思想。如果要我們具體去計(jì)算可能就會(huì)比較復(fù)雜，但是慶幸的是，我們不需要知道具體如何計(jì)算，我們只需要知道怎么表示這個(gè)思想就行了。一個(gè)小塊da的電通量是E·da，那么我們就可以用下面的符號(hào)表示通過(guò)這個(gè)曲面S的總電通量：

這個(gè)拉長(zhǎng)的大S符號(hào)就是積分符號(hào)，它就是我們上面說(shuō)的微積分思想的代表。它的右下角那個(gè)S代表曲面S，也就是說(shuō)我們這里是把這個(gè)曲面S切割成無(wú)窮小塊，然后對(duì)每一塊都求它的通量E·da，然后把通量累積起來(lái)。至于這個(gè)大S中間的那個(gè)圓圈就代表這是一個(gè)閉合曲面。

08方程一：高斯電場(chǎng)定律

總之，上面這個(gè)式子就代表了電場(chǎng)E通過(guò)閉合曲面S的總電通量，而我們前面說(shuō)過(guò)高斯電場(chǎng)定律的核心思想就是：通過(guò)閉合曲面的電通量跟這個(gè)曲面包含的電荷量成正比。那么，這樣我們就能非常輕松的理解麥克斯韋方程組的第一個(gè)方程——高斯電場(chǎng)定律了：

方程的左邊，我們上面解釋了這么多，這就是電場(chǎng)E通過(guò)閉合曲面S的電通量。方程右邊帶enc下標(biāo)的Q表示閉合曲面內(nèi)包含的電荷總量，ε0是個(gè)常數(shù)（真空介電常數(shù)），暫時(shí)不用管它。等號(hào)兩邊一邊是閉合曲面的電通量，另一邊是閉合曲面包含的電荷，我們這樣就用數(shù)學(xué)公式完美地詮釋了我們的思想。

麥克斯韋方程組總共有四個(gè)方程，分別描述了靜電、靜磁、磁生電、電生磁的過(guò)程。庫(kù)倫定律從點(diǎn)電荷的角度描述靜電，而高斯電場(chǎng)定律則從通量的角度來(lái)描述靜電，為了描述任意閉合曲面的通量，我們不得不引入了微積分的思想。我們說(shuō)電通量是電場(chǎng)線通過(guò)一個(gè)曲面的數(shù)量，而我們也知道磁場(chǎng)也有磁感線（由于歷史原因無(wú)法使用磁場(chǎng)線這個(gè)名字），那么，我們是不是也可以類似建立磁通量的概念，然后在此基礎(chǔ)上建立類似的高斯磁場(chǎng)定律呢？

09方程二：高斯磁場(chǎng)定律

磁通量的概念很好建立，我們可以完全模仿電通量的概念，將磁感線通過(guò)一個(gè)曲面的數(shù)量定義磁通量。因?yàn)榇艌?chǎng)線的密度一樣表征了磁感應(yīng)強(qiáng)度（因?yàn)闅v史原因，我們這里無(wú)法使用磁場(chǎng)強(qiáng)度）的大小。所以不難理解，我們可以仿照電場(chǎng)把磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場(chǎng)通過(guò)一個(gè)平面a的磁通量Φ表示為Φ=B·a。

同樣，根據(jù)我們?cè)谏厦骐妶?chǎng)里使用的微積分思想，類比通過(guò)閉合曲面電通量的作法，我們可以把通過(guò)一個(gè)閉合曲面S的磁通量表示為：

然后，我們可以類比高斯電場(chǎng)定律的思想“通過(guò)閉合曲面的電通量跟這個(gè)曲面包含的電荷量成正比”，建立一個(gè)高斯磁場(chǎng)定律，它是核心思想似乎就應(yīng)該是：通過(guò)閉合曲面的磁通量跟這個(gè)曲面包含的“磁荷量”成正比。

然而這里會(huì)有個(gè)問(wèn)題，我們知道自然界中有獨(dú)立存在的正負(fù)電荷，電場(chǎng)線都是從正電荷出發(fā)，匯集與負(fù)電荷。但是自然界里并不存在（至少現(xiàn)在還沒(méi)發(fā)現(xiàn)）獨(dú)立的磁單極子，任何一個(gè)磁體都是南北兩極共存。所以，磁感線跟電場(chǎng)線不一樣，它不會(huì)存在一個(gè)單獨(dú)的源頭，也不會(huì)匯集到某個(gè)地方去，它只能是一條閉合的曲線。

上圖是一個(gè)很常見的磁鐵周圍的磁感線，磁鐵外部的磁感線從N極指向S極，在磁鐵的內(nèi)部又從S極指向N極，這樣就形成一個(gè)完整的閉環(huán)。

如果磁感線都是一個(gè)閉環(huán)，沒(méi)有獨(dú)立存在的磁單極，那我們可以想一想：如果你在這個(gè)閉環(huán)里畫一個(gè)閉合曲面，那么結(jié)果肯定就是有多少磁感線從曲面進(jìn)去，就肯定有多少跟磁感線從曲面出來(lái)。因?yàn)槿绻幸桓鸥芯€只進(jìn)不出，那它就不可能是閉合的了，反之亦然。

如果一個(gè)閉合曲面有多少根磁感線進(jìn)，就有多少根磁感線出，這意味著什么呢？這就意味著你進(jìn)去的磁通量跟出來(lái)的磁通量相等，那么最后這個(gè)閉合曲面包含的總磁通量就恒為0了。這就是麥克斯韋方程組的第二個(gè)方程——高斯磁場(chǎng)定律的核心思想：閉合曲面包含的磁通量恒為0。

通過(guò)閉合曲面的磁通量（B·a是磁通量，套個(gè)曲面的積分符號(hào)就表示曲面的磁通量）我們上面已經(jīng)說(shuō)了，恒為0無(wú)非就是在等號(hào)的右邊加個(gè)0，所以高斯磁場(chǎng)定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是這樣的：

對(duì)比一下高斯電場(chǎng)定律和高斯磁場(chǎng)定律，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)他們不僅是名字想象，思想也幾乎是一模一樣的，只不過(guò)目前還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)磁荷、磁單極子，所以高斯磁場(chǎng)定律的右邊就是一個(gè)0。我們?cè)傧胍幌耄簽槭裁催@種高斯XX定律能夠成立？為什么通過(guò)任意閉合曲面的某種通量會(huì)剛好是某種量的一個(gè)量度？

原因還在它們的“平方反比”上。因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度都是跟距離的平方成反比，而表面積是跟距離的平方正比，所以你前者減小多少，后者就增加多少。那么，如果有一個(gè)量的表示形式是前者和后者的乘積，那么它的總量就會(huì)保持不變。而通量剛好就是XX強(qiáng)度和表面積的乘積，所以電通量、磁通量就都會(huì)有這樣的性質(zhì)。

所以，再深思一下你就會(huì)發(fā)現(xiàn)：只要一種力的強(qiáng)度是跟距離平方成反比，那么它就可以有類似的高斯XX定律，比如引力，我們一樣可以找到對(duì)應(yīng)的高斯定律。數(shù)學(xué)王子高斯當(dāng)年發(fā)現(xiàn)了高斯定理，我們把它應(yīng)用在物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，就得到了各種高斯XX定律。麥克斯韋方程組總共就四個(gè)方程，就有兩個(gè)高斯定律，可見其重要性。

靜電和靜磁方面的事情就先說(shuō)這么多，還有疑問(wèn)的請(qǐng)咨詢高斯，畢竟這是人家獨(dú)家冠名的產(chǎn)品。接下來(lái)我們來(lái)看看電和磁之間的交互，看看磁是如何生電，電是如何生磁的。說(shuō)到磁如何生電，那就肯定得提到法拉第。奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之后，大家秉著對(duì)稱性的精神，認(rèn)為磁也一定能夠生電，但是磁到底要怎樣才能生電呢？不知道，這就得做實(shí)驗(yàn)研究了。

10電磁感應(yīng)

既然是要做實(shí)驗(yàn)看磁如何生電，那首先肯定得有一個(gè)磁場(chǎng)。這個(gè)簡(jiǎn)單，找兩塊N極和S極相對(duì)的磁鐵，這樣它們之間就會(huì)有一個(gè)磁場(chǎng)。我再拿一根金屬棒來(lái)，看看它有沒(méi)有辦法從磁場(chǎng)中弄出電來(lái)。因?yàn)榻饘侔羰菍?dǎo)電的，所以我把它用導(dǎo)線跟一個(gè)檢測(cè)電流的儀器連起來(lái)，如果儀器檢測(cè)到了電流，那就說(shuō)明磁生電成功了。

法拉第做了很多這樣的實(shí)驗(yàn)，他發(fā)現(xiàn)：你金屬棒放在那里不動(dòng)，是不會(huì)產(chǎn)生電流的（這是自然，否則你就是憑空產(chǎn)生了電，能量就不守恒了。你要這樣能發(fā)電，那我買塊磁鐵回家，就永遠(yuǎn)不用再交電費(fèi)了）。

然后，他發(fā)現(xiàn)金屬棒在那里動(dòng)的時(shí)候，有時(shí)候能產(chǎn)生電流，有時(shí)候不能產(chǎn)生，你要是順著磁感線的方向運(yùn)動(dòng)（在上圖就是左右運(yùn)動(dòng)）就沒(méi)有電流，但是你要是做切割磁感線的運(yùn)動(dòng)（在上圖就是上下運(yùn)動(dòng)）它就能產(chǎn)生電流。打個(gè)通俗的比喻：如果把磁感線想象成一根根面條，你只有把面條（磁感線）切斷了才會(huì)產(chǎn)生電流。

再然后，他發(fā)現(xiàn)金屬棒在磁場(chǎng)里不動(dòng)雖然不會(huì)產(chǎn)生電流，但是如果這時(shí)候我改變一下磁場(chǎng)的強(qiáng)度，讓磁場(chǎng)變強(qiáng)或者變?nèi)跻恍?，即便金屬棒不?dòng)也會(huì)產(chǎn)生電流。

法拉第仔細(xì)總結(jié)了這些情況，他發(fā)現(xiàn)不管是金屬棒運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生電流，還是磁場(chǎng)強(qiáng)度變化產(chǎn)生電流，都可以用一個(gè)通用的方式來(lái)表達(dá)：只要閉合回路的磁通量發(fā)生了改變，就會(huì)產(chǎn)生電流。我們想想，磁通量是磁場(chǎng)強(qiáng)度B和面積a的乘積（B·a），我切割磁感線其實(shí)是相當(dāng)于改變了磁感線通過(guò)回路的面積a，改變磁場(chǎng)強(qiáng)度就是改變了B。不管我是改變了a還是B，它們的乘積B·a（磁通量）肯定都是要改變的。

也就是說(shuō)：只要通過(guò)曲面（我們可以把閉合回路當(dāng)作一個(gè)曲面）的磁通量發(fā)生了改變，回路中就會(huì)產(chǎn)生電流，而且磁通量變化得越快，這個(gè)電流就越大。

到了這里，我們要表示通過(guò)一個(gè)曲面的磁通量應(yīng)該已經(jīng)輕車熟路了。磁通量是B·a，那么通過(guò)一個(gè)曲面S的磁通量給它套一個(gè)積分符號(hào)就行了。于是，通過(guò)曲面S磁通量可以寫成下面這樣：

細(xì)心的同學(xué)就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表達(dá)式跟我們高斯磁場(chǎng)定律里磁通量部分稍微有點(diǎn)不一樣，高斯磁場(chǎng)定律里的積分符號(hào)（拉長(zhǎng)的S）中間有一個(gè)圓圈，我們這里卻沒(méi)有。高斯磁場(chǎng)定律說(shuō)“閉合曲面的磁通量恒為0”，那里的曲面是閉合曲面，所以有圓圈。而我們這里的曲面并不是閉合曲面（我們是把電路回路當(dāng)成一個(gè)曲面，考慮通過(guò)這個(gè)回路的磁通量），也不能是閉合曲面。因?yàn)榉ɡ诰褪前l(fā)現(xiàn)了“通過(guò)一個(gè)曲面的磁通量有變化就會(huì)產(chǎn)生電流”，如果這是閉合曲面，那根據(jù)高斯磁場(chǎng)定律它的磁通量恒為0，恒為0那就是沒(méi)有變化，沒(méi)變化按照法拉第的說(shuō)法就沒(méi)有電流，那還生什么電？

所以，我們要搞清楚，我們這里不再是討論閉合曲面的磁通量，而是一個(gè)非閉合曲面的磁通量，這個(gè)磁通量發(fā)生了改變就會(huì)產(chǎn)生電流，而且變化得越快產(chǎn)生的電流就越大。上面的式子給出的只是通過(guò)一個(gè)曲面S的磁通量，但是我們看到了最終決定電流大小的并不是通過(guò)曲面的磁通量的大小，而是磁通量變化的快慢。那么這個(gè)變化的快慢我們要怎么表示呢？

我們先來(lái)看看我們是怎么衡量快慢的。比如身高，一個(gè)人在十二三歲的時(shí)候一年可以長(zhǎng)10厘米，我們說(shuō)他這時(shí)候長(zhǎng)得快；到了十七八歲的時(shí)候可能一年就長(zhǎng)1厘米，我們就說(shuō)他長(zhǎng)得慢。也就是說(shuō)，我們衡量一個(gè)量（假設(shè)身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個(gè)變化的時(shí)間dt（比如一年，或者更?。纯催@個(gè)量的變化dy是多少，如果這個(gè)量的變化很大我們就說(shuō)它變化得很快，反之則變化得慢。

因此，我們可以用這個(gè)量的變化dy和給定的時(shí)間dt的比值dy/dt來(lái)衡量量這個(gè)量y變化的快慢。所以，我們現(xiàn)在要衡量磁通量變化的快慢，那就只需要把磁通量的表達(dá)式替換掉上面的y就行了，那么通過(guò)曲面S的磁通量變化的快慢就可以這樣表示：

這樣，我們就把磁生電這個(gè)過(guò)程中磁的這部分說(shuō)完了，那么電呢？一個(gè)閉合回路（曲面）的磁通量有變化就會(huì)產(chǎn)生電，那這種電要怎么描述？

11電場(chǎng)的環(huán)流

可能有人覺(jué)得磁通量的變化不是在回路里產(chǎn)生了電流么，那么我直接用電流來(lái)描述這種電不就行了么？不行，我們的實(shí)驗(yàn)里之所以有電流，是因?yàn)槲覀冇脤?dǎo)線把金屬棒連成了一個(gè)閉合回路，如果我們沒(méi)有用導(dǎo)線去連金屬棒呢？那肯定就沒(méi)有電流了。

所以，電流并不是最本質(zhì)的東西，那個(gè)最本質(zhì)的東西是電場(chǎng)。一個(gè)曲面的磁通量發(fā)生了變化，它就會(huì)在這個(gè)曲面的邊界感生出一個(gè)電場(chǎng)，然后這個(gè)電場(chǎng)會(huì)驅(qū)動(dòng)導(dǎo)體中的自由電子定向移動(dòng)，從而形成電流。因此，就算沒(méi)有導(dǎo)線沒(méi)有電流，這個(gè)電場(chǎng)依然存在。所以，我們要想辦法描述的是這個(gè)被感生出來(lái)的電場(chǎng)。

首先，一個(gè)曲面的磁通量發(fā)生了改變，就會(huì)在在曲面的邊界感應(yīng)出一個(gè)電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)是環(huán)繞著磁感線的，就像是磁感線的腰部套了一個(gè)呼啦圈。而且，你這個(gè)磁通量是增大還是減小，決定了這個(gè)電場(chǎng)是順時(shí)針環(huán)繞還是逆時(shí)針環(huán)繞，如下圖：

如果我們從上往下看的話，這個(gè)成閉環(huán)的感生電場(chǎng)就是如下圖所示：它在這個(gè)閉環(huán)每點(diǎn)的方向都不一樣，這樣就剛好可以沿著回路驅(qū)動(dòng)帶電粒子，好像是電場(chǎng)在推著帶電粒子在這里環(huán)里流動(dòng)一樣。

這里，我們就要引入一個(gè)新的概念：電場(chǎng)環(huán)流，電場(chǎng)的環(huán)流就是電場(chǎng)沿著閉合路徑的線積分。這里有兩個(gè)關(guān)鍵詞：閉合路徑和線積分。閉合路徑好說(shuō)，你只有路徑是閉合的，才是一個(gè)環(huán)嘛，感生電場(chǎng)也是一個(gè)環(huán)狀的電場(chǎng)。

電場(chǎng)的線積分是什么意思呢？因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)這個(gè)感生電場(chǎng)是一個(gè)環(huán)狀電場(chǎng)，它在每一個(gè)點(diǎn)的方向都不一樣。但是，我們依然可以發(fā)動(dòng)微積分的思想：這個(gè)電場(chǎng)在大范圍內(nèi)（比如上面的整個(gè)圓環(huán)）方向是不一樣的，但是，如果在圓環(huán)里取一個(gè)非常小的段dl，電場(chǎng)E就可以看做是一個(gè)恒定的了，這時(shí)候E·dl就是有意義的了。然后把這個(gè)環(huán)上所有部分的E·dl都累加起來(lái)，也就是沿著這個(gè)圓環(huán)逐段把E·dl累加起來(lái)，這就是對(duì)電場(chǎng)求線積分。而這個(gè)線積分就是電場(chǎng)環(huán)流，用符號(hào)表示就是這樣：

積分符號(hào)下面的C表示這是針對(duì)曲線進(jìn)行積分，不同于我們前面的面積分（下標(biāo)為S），積分符號(hào)中間的那個(gè)圓圈就表示這個(gè)是閉合曲線（電場(chǎng)形成的圓環(huán)）。如果大家已經(jīng)熟悉了前面曲面通量的概念，我想這里要理解電場(chǎng)在曲線上的積分（即電場(chǎng)環(huán)流）并不難。

這個(gè)電場(chǎng)環(huán)流有什么物理意義呢？它就是我們常說(shuō)電動(dòng)勢(shì)，也就是電場(chǎng)對(duì)沿著這條路徑移動(dòng)的單位電荷所做的功。我這里并不想就這個(gè)問(wèn)題再做深入的討論，大家只要直觀的感覺(jué)一下就行了。你想想這個(gè)電場(chǎng)沿著這個(gè)回路推動(dòng)電荷做功（電場(chǎng)沿著回路推著電荷走，就像一個(gè)人拿著鞭子抽磨磨的驢），這就是電場(chǎng)環(huán)流要傳遞的概念。而用這個(gè)概念來(lái)描述變化的磁產(chǎn)生的電是更加合適的，它既包含了感生電場(chǎng)的大小信息，也包含了方向信息。

12方程三：法拉第定律

所以，麥克斯韋方程組的第三個(gè)方程——法拉第定律的最后表述就是這樣的：曲面的磁通量變化率等于感生電場(chǎng)的環(huán)流。用公式表述就是這樣：

方程右邊的磁通量的變化率和和左邊的感生電場(chǎng)環(huán)流我們上面都說(shuō)了，還有一個(gè)需要說(shuō)明的地方就是公式右邊的這個(gè)負(fù)號(hào)。為什么磁通量的變化率前面會(huì)有個(gè)負(fù)號(hào)呢？

我們想想，法拉第定律說(shuō)磁通量的變化會(huì)感生出一個(gè)電場(chǎng)出來(lái)，但是我們別忘了奧斯特的發(fā)現(xiàn)：電流是有磁效應(yīng)的。也就是說(shuō)，磁通量的變化會(huì)產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)它自己也會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，那么也就有磁通量。那么，你覺(jué)得這個(gè)感生電場(chǎng)產(chǎn)生的磁通量跟原來(lái)磁場(chǎng)的磁通量的變化會(huì)有什么關(guān)系？

假如原來(lái)的磁通量是增加的，那么這個(gè)增加的磁通量感生出來(lái)的電場(chǎng)產(chǎn)生的磁通量是跟原來(lái)方向相同還是相反？仔細(xì)想想你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，答案必然是相反。如果原來(lái)的磁通量是增加的，你感生出來(lái)的電場(chǎng)產(chǎn)生的磁通量還跟它方向相同，這樣不就讓原來(lái)的磁通量增加得更快了么？增加得更快，按照這個(gè)邏輯就會(huì)感生出更強(qiáng)大的電場(chǎng)，產(chǎn)生更大的與原來(lái)方向相同的磁通量，然后又導(dǎo)致原來(lái)的磁通量增加得更快……

然后你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限循環(huán)下去，永遠(yuǎn)沒(méi)有盡頭，這樣慢慢感生出無(wú)限大的電場(chǎng)和磁通量，這肯定是不可能的。所以，為了維持一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定，你原來(lái)的磁通量是增加的，我感生電場(chǎng)產(chǎn)生的磁通量就必然要讓原來(lái)的磁通量減小，反之亦然。這就是楞次定律的內(nèi)容，中學(xué)的時(shí)候老師會(huì)編一些口訣讓你記住它的內(nèi)容，但是我想讓你知道這是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)自然而然的要求。楞次定律背后還有一些更深層次的原因，這里我們暫時(shí)只需要知道這是法拉第定律那個(gè)負(fù)號(hào)的體現(xiàn)就行了。

到這里，我們就把麥克斯韋方程組的第三個(gè)方程——法拉第定律的內(nèi)容講完了，它刻畫了變化的磁通量如何產(chǎn)生電場(chǎng)的過(guò)程。但是，我們上面也說(shuō)了，我們這里的磁通量變化包含了兩種情況：導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的磁通量變化和磁場(chǎng)變化導(dǎo)致的磁通量變化。這兩種情況其實(shí)是不一樣的，但是它們居然又可以用一個(gè)統(tǒng)一的公式來(lái)表達(dá)，這其實(shí)是非常不自然的，當(dāng)時(shí)的人們也只是覺(jué)得這是一種巧合罷了，但是愛因斯坦卻不認(rèn)為這是一種巧合，而是大自然在向我們暗示什么，他最終從這里發(fā)現(xiàn)了狹義相對(duì)論，有興趣的同學(xué)可以這里思考一下。

也因?yàn)檫@兩種情況不一樣，所以，法拉第定律還有另外一個(gè)版本：它把這兩種情況做了一個(gè)區(qū)分，認(rèn)為只有磁場(chǎng)變化導(dǎo)致的磁通量變化才是法拉第定律，前面導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的磁通量變化只是通量法則。所以我們有時(shí)候就會(huì)看到法拉第定律的另一個(gè)版本：

對(duì)比一下這兩個(gè)法拉第定律，我們發(fā)現(xiàn)后面這個(gè)只是把那個(gè)變化率從原來(lái)的針對(duì)整個(gè)磁通量移到了只針對(duì)磁場(chǎng)強(qiáng)度B（因?yàn)锽不是只跟時(shí)間t有關(guān)，還可以跟其它的量有關(guān)，所以我們這里必須使用對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)的符號(hào)?B/?t），也就是說(shuō)它只考慮變化磁場(chǎng)導(dǎo)致的磁通量變化。這種形式跟我們后面要說(shuō)的法拉第定律的微分形式對(duì)應(yīng)得更好，這個(gè)后面大家會(huì)體會(huì)到。

磁生電的過(guò)程我們先講這么多，最后我們來(lái)看看電生磁的情況?？赡苡行┤藭?huì)覺(jué)得我這個(gè)出場(chǎng)次序有點(diǎn)奇怪：明明是奧斯特先發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，大概十年后法拉第才發(fā)現(xiàn)了磁如何生電，為什么你卻要先講磁生電的法拉第定律，最后講電生磁呢？

13安培環(huán)路定理

確實(shí)，是奧斯特首先爆炸性地發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)了原來(lái)電和磁之間并不是毫無(wú)關(guān)系的。

如上圖，假設(shè)電流從下往上，那么它在周圍就會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)環(huán)形的磁場(chǎng)。磁場(chǎng)的方向可以用所謂的右手定則直觀的判斷：手握著導(dǎo)線，拇指指向電流的方向，那么你右手四指彎曲的方向就是磁場(chǎng)B的方向。

然后畢奧、薩伐爾和安培等人立馬著手定量的研究電流的磁效應(yīng)，看看一定大小的電流在周圍產(chǎn)生的磁場(chǎng)的大小是怎樣的。于是，我們就有了描述電流磁效應(yīng)的畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定理。其中，畢奧-薩伐爾定律就類似于庫(kù)倫定律，安培環(huán)路定理就類似于高斯電場(chǎng)定律，因?yàn)樵邴溈怂鬼f方程組里，我們使用的是后一套語(yǔ)言，所以我們這里就只來(lái)看看安培環(huán)路定理：

安培環(huán)路定理的左邊跟法拉第定律的左邊很相似，這是很顯然的。因?yàn)榉ɡ诙烧f(shuō)磁通量的變化會(huì)在它周圍產(chǎn)生一個(gè)旋轉(zhuǎn)閉合的電場(chǎng)，而電流的磁效應(yīng)也是在電流的周圍產(chǎn)生一個(gè)旋轉(zhuǎn)閉合的磁場(chǎng)。在上面我們已經(jīng)說(shuō)了我們是用電場(chǎng)環(huán)流（也就是電場(chǎng)在閉合路徑的線積分）來(lái)描述這個(gè)旋轉(zhuǎn)閉合的電場(chǎng)，那我們這里一樣使用磁場(chǎng)環(huán)流（磁場(chǎng)在閉合路徑的線積分）來(lái)描述這種旋轉(zhuǎn)閉合的磁場(chǎng)。

安培環(huán)路定理的右邊就比較簡(jiǎn)單了，μ0是個(gè)常數(shù)（真空磁導(dǎo)率），不用管它。I通常是用來(lái)表示電流的，enc這個(gè)右標(biāo)我們?cè)诟咚闺妶?chǎng)定律那里已經(jīng)說(shuō)過(guò)了，它是包含的意思。所以，右邊這個(gè)帶enc的電流I就表示被包含在閉合路徑里的總電流，哪個(gè)閉合路徑呢？那自然就是你左邊積分符號(hào)中間那個(gè)圈圈表示的閉合路徑了。

也就是說(shuō)，安培環(huán)路定理其實(shí)是在告訴我們：通電導(dǎo)線周圍會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，你可以在這個(gè)電流周圍隨便畫一個(gè)圈，那么這個(gè)磁場(chǎng)的環(huán)流（沿著這個(gè)圈的線積分）就等于這個(gè)圈里包含的電流總量乘以真空磁導(dǎo)率。

那么，這樣就完了么？靜電、靜磁分別由兩個(gè)高斯定律描述，磁生電由法拉第定律描述，電生磁就由安培環(huán)路定理描述？

不對(duì)，我們看看安培環(huán)路定理，雖然它確實(shí)描述了電生磁，但是它這里的電僅僅是電流（定理右邊只有電流一項(xiàng)）。難道一定要有電流才會(huì)產(chǎn)生磁？電磁感應(yīng)被發(fā)現(xiàn)的原因就是看到奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)電能生磁，所以人們秉著對(duì)稱性的原則，覺(jué)得既然電能夠生磁，那么磁也一定能夠生電。那么，繼續(xù)秉著這種對(duì)稱性，既然法拉第定律說(shuō)“變化的磁通量能夠產(chǎn)生電”，那么，我們實(shí)在有理由懷疑：變化的電通量是不是也能產(chǎn)生磁呢？

14方程四：安培-麥克斯韋定律

那么，為什么描述電生磁的安培環(huán)路定理里卻只有電流產(chǎn)生磁，而沒(méi)有變化的電通量產(chǎn)生磁這一項(xiàng)呢？難道當(dāng)時(shí)的科學(xué)家們沒(méi)意識(shí)到這種對(duì)稱性么？當(dāng)然不是，當(dāng)時(shí)的科學(xué)家們也想從實(shí)驗(yàn)里去找到電通量變化產(chǎn)生磁場(chǎng)的證據(jù)，但是他們并沒(méi)有找到。沒(méi)有找到依然意味著有兩種可能：不存在或者目前的實(shí)驗(yàn)精度還發(fā)現(xiàn)不了它。

如果你是當(dāng)時(shí)的科學(xué)家，面對(duì)這種情況你會(huì)作何選擇？如果你因?yàn)閷?shí)驗(yàn)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)它就認(rèn)為它不存在，這樣未免太過(guò)保守。但是，如果你僅僅因?yàn)殡姶胖g的這樣一種對(duì)稱性（而且還不是非常對(duì)稱，因?yàn)榇笞匀焕锏教幊錆M了獨(dú)立的電荷，卻沒(méi)有單獨(dú)的磁單極子）就斷定“電通量的變化也一定會(huì)產(chǎn)生磁”這樣未免太過(guò)草率。這種時(shí)候就是真正考驗(yàn)一個(gè)科學(xué)家能力和水平的時(shí)候了。

麥克斯韋選擇了后者，也就是說(shuō)麥克斯韋認(rèn)為“變化的電通量也能產(chǎn)生磁”，但是他并不是隨意做了一個(gè)二選一的選擇，而是在他的概念模型里發(fā)現(xiàn)必須加入這樣一項(xiàng)。而且，只有加上了這樣一項(xiàng)，修正之后的安培環(huán)路定理才能跟高斯電場(chǎng)定律、高斯磁場(chǎng)定律、法拉第定律融洽相處，否則他們之間會(huì)產(chǎn)生矛盾（這個(gè)矛盾我們?cè)诤竺娴奈⒎制镌僬f(shuō)）。麥克斯韋原來(lái)的模型太過(guò)復(fù)雜，我這里就不說(shuō)了，這里我用一個(gè)很簡(jiǎn)單的例子告訴大家為什么必須要加入“變化的電通量也能產(chǎn)生磁”這一項(xiàng)。

在安培環(huán)路定理里，我們可以隨意選一個(gè)曲面，然后所有穿過(guò)這個(gè)曲面的電流會(huì)在這個(gè)曲面的邊界上形成一個(gè)環(huán)繞磁場(chǎng)，問(wèn)題的關(guān)鍵就在這個(gè)曲面的選取上。按理說(shuō)，只要你的這個(gè)曲面邊界是一樣的，那么曲面的其他部分就隨便你選，因?yàn)榘才喹h(huán)路定理坐標(biāo)的磁場(chǎng)環(huán)流只是沿著曲面的邊界的線積分而已，所以它只跟曲面邊界有關(guān)。下面這個(gè)例子就會(huì)告訴你即便曲面邊界一樣，使用安培環(huán)路定理還是會(huì)做出相互矛盾的結(jié)果。

上圖是一個(gè)包含電容器的簡(jiǎn)單電路。電容器顧名思義就是裝電的容器，它可以容納一定量的電荷。一開始電容器是空的，當(dāng)我們把開關(guān)閉合的時(shí)候，電荷在電池的驅(qū)動(dòng)下開始移動(dòng)，移動(dòng)到了電容器這里就走不動(dòng)了（此路不通），然后電荷們就聚集在電容器里。因?yàn)殡娙萜骺梢匀菁{一定量的電荷，所以，當(dāng)電容器還沒(méi)有被占滿的時(shí)候，電荷是可以在電路里移動(dòng)的，電荷的移動(dòng)就表現(xiàn)為電流。

所以，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們?cè)诮o電容器充電的時(shí)候，電路上是有電流的，但是電容器之間卻沒(méi)有電流。所以，如果我們選擇上圖的曲面，那么明顯是有電流穿過(guò)這個(gè)曲面，但是，如果我們選擇下面這個(gè)曲面呢（此處圖片來(lái)自《麥克斯韋方程直觀》，需要的可以后臺(tái)回復(fù)“麥克斯韋方程組”）？

這個(gè)曲面的邊界跟上圖一樣，但是它的底卻托得很長(zhǎng)，蓋住了半塊電容器。這是什么意思呢？因?yàn)槲覀冎离娙萜髟诔潆姷臅r(shí)候，電容器里面是沒(méi)有電流的，所以，當(dāng)我們把曲面選擇成下面這個(gè)樣子的時(shí)候，根本就沒(méi)有電流穿過(guò)這個(gè)曲面。

也就是說(shuō)，如果我選上面的曲面，有電流穿過(guò)曲面，按照安培環(huán)路定理，它是肯定會(huì)產(chǎn)生一個(gè)環(huán)繞磁場(chǎng)的。但是，如果我選擇下面的曲面，就沒(méi)有電流通過(guò)這個(gè)曲面，按照安培環(huán)路定理就不會(huì)產(chǎn)生環(huán)繞磁場(chǎng)。而安培環(huán)路定理只限定曲面的邊界，并不管你曲面的其它地方，于是我們就看到這兩個(gè)相同邊界的曲面會(huì)得到完全不同的結(jié)論，這就只能說(shuō)明：安培環(huán)路定理錯(cuò)了，或者至少它并不完善。

我們?cè)賮?lái)想一想，電容器在充電的時(shí)候電路中是有電流的，所以它周圍應(yīng)該是會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)的。但是，當(dāng)我們選擇下面那個(gè)大口袋形的曲面的時(shí)候，并沒(méi)有電流穿過(guò)這個(gè)曲面。那么，到底這個(gè)磁場(chǎng)是怎么來(lái)的呢？

我們?cè)賮?lái)仔細(xì)分析一下電容器充電的過(guò)程：電池驅(qū)使著電荷不斷地向電容器聚集，電容器中間雖然沒(méi)有電流，但是它兩邊聚集的電荷卻越來(lái)越多。電荷越來(lái)越多的話，在電容器兩個(gè)夾板之間的電場(chǎng)強(qiáng)度是不是也會(huì)越來(lái)越大？電場(chǎng)強(qiáng)度越來(lái)越大的話，有沒(méi)有嗅到什么熟悉的味道？

沒(méi)錯(cuò)，電場(chǎng)強(qiáng)度越來(lái)越大，那么通過(guò)這個(gè)曲面的電通量也就越來(lái)越大。因此，我們可以看到雖然沒(méi)有電流通過(guò)這個(gè)曲面，但是通過(guò)這個(gè)曲面的電通量卻發(fā)生了改變。這樣，我們就可以非常合理地把“變化的電通量”這一項(xiàng)也添加到產(chǎn)生磁場(chǎng)的原因里。因?yàn)檫@項(xiàng)工作是麥克斯韋完成的，所以添加了這一項(xiàng)之后的新公式就是麥克斯韋方程組的第四個(gè)方程——安培-麥克斯韋定律：

把它和安培環(huán)路定理對(duì)比一下，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它只是在在右邊加了變化的電通量這一項(xiàng)，其它的都原封未動(dòng)。E·a是電通量，套個(gè)面積分符號(hào)就表示通過(guò)曲面S的電通量，再加個(gè)d/dt就表示通過(guò)曲面S電通量變化的快慢。因?yàn)樵谥v法拉第定律的時(shí)候我們?cè)敿?xì)講了通過(guò)曲面磁通量變化的快慢，這里只是把磁場(chǎng)換成了電場(chǎng)，其他都沒(méi)變。

ε0是真空中的介電常數(shù)，把這個(gè)常數(shù)和電通量變化的快慢乘起來(lái)就會(huì)得到一個(gè)跟電流的單位相同的量，它就被稱為位移電流，如下圖：

所以，我們經(jīng)常能夠聽到別人說(shuō)麥克斯韋提出了位移電流假說(shuō)。其實(shí)，它的核心就是添加了“變化的電通量也能產(chǎn)生磁場(chǎng)”這一項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)并沒(méi)有實(shí)驗(yàn)?zāi)茏C明這一點(diǎn)，所以只能暫時(shí)稱之為假說(shuō)。在安培環(huán)路定理里添加了這一項(xiàng)之后，新生的安培-麥克斯韋定律就能跟其他的幾條定律和諧相處了。而麥克斯韋之所以能夠從他的方程組里預(yù)言電磁波的存在，這最后添加這項(xiàng)“變化的電通量產(chǎn)生磁場(chǎng)”至關(guān)重要。

因?yàn)槟阆胂?，預(yù)言電磁波的關(guān)鍵就是“變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)”，這樣變化的磁場(chǎng)和電場(chǎng)就能相互感生傳向遠(yuǎn)方，從而形成電磁波。而變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)，這不就是麥克斯韋添加的這一項(xiàng)的核心內(nèi)容么？電場(chǎng)變了，磁通量變了，于是就產(chǎn)生了磁場(chǎng)。至于麥克斯韋方程組如何推導(dǎo)出電磁波，我后面再專門寫文章解釋，這里知道電磁波的產(chǎn)生跟位移電流的假說(shuō)密切相關(guān)就行了。

15麥克斯韋方程組

至此，麥克斯韋方程組的四個(gè)方程：描述靜電的高斯電場(chǎng)定律、描述靜磁的高斯磁場(chǎng)定律、描述磁生電的法拉第定律和描述電生磁的安培-麥克斯韋定律的積分形式就都說(shuō)完了。把它們都寫下來(lái)就是這樣：

高斯電場(chǎng)定律說(shuō)穿過(guò)閉合曲面的電通量正比于這個(gè)曲面包含的電荷量。

高斯磁場(chǎng)定律說(shuō)穿過(guò)閉合曲面的磁通量恒等于0。

法拉第定律說(shuō)穿過(guò)曲面的磁通量的變化率等于感生電場(chǎng)的環(huán)流。

安培-麥克斯韋定律說(shuō)穿過(guò)曲面的電通量的變化率和曲面包含的電流等于感生磁場(chǎng)的環(huán)流。

我們看到，在這里從始至終都占據(jù)著核心地位的概念就是通量。

如果一個(gè)曲面是閉合的，那么通過(guò)它的通量就是曲面里面某種東西的量度。因?yàn)樽匀唤绱嬖讵?dú)立的電荷，所以高斯電場(chǎng)定律的右邊就是電荷量的大小，因?yàn)槲覀冞€沒(méi)有發(fā)現(xiàn)磁單極子，所以高斯磁場(chǎng)定律右邊就是0。

如果一個(gè)曲面不是閉合的，那么它就無(wú)法包住什么，就不能成為某種荷的量度。但是，一個(gè)曲面如果不是閉合的，它就有邊界，于是我們就可以看到這個(gè)非閉合曲面的通量變化會(huì)在它的邊界感生出某種旋渦狀的場(chǎng)，這種場(chǎng)可以用環(huán)流來(lái)描述。因而，我們就看到了：如果這個(gè)非閉合曲面的磁通量改變了，就會(huì)在這個(gè)曲面的邊界感生出電場(chǎng)，這就是法拉第定律；如果這個(gè)非閉合曲面的電通量改變了，就會(huì)在這個(gè)曲面的邊界感生出磁場(chǎng)，這就是安培-麥克斯韋定律的內(nèi)容。

所以，當(dāng)我們用閉合曲面和非閉合曲面的通量把這四個(gè)方程串起來(lái)的時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程組還是很有頭緒的，并不是那么雜亂無(wú)章。閉上眼睛，想象空間中到處飛來(lái)飛去的電場(chǎng)線、磁場(chǎng)線，它們有的從一個(gè)閉合曲面里飛出來(lái)，有的穿過(guò)一個(gè)閉合曲面，有的穿過(guò)一個(gè)普通的曲面然后在曲面的邊界又產(chǎn)生了新的電場(chǎng)線或者磁場(chǎng)線。它們就像漫天飛舞的音符，而麥克斯韋方程組就是它們的指揮官。

16結(jié)語(yǔ)

有很多朋友以為麥克斯韋方程組就是麥克斯韋寫的一組方程，其實(shí)不然。如我們所見，麥克斯韋方程組雖然有四個(gè)方程，但是其中有三個(gè)半（高斯電場(chǎng)定律、高斯磁場(chǎng)定律、法拉第定律、安培環(huán)路定理）是在麥克斯韋之前就已經(jīng)有了的，真正是麥克斯韋加進(jìn)去的只有安培-麥克斯韋定律里”電通量的變化產(chǎn)磁場(chǎng)”那一項(xiàng)。知道了這些，有些人可能就會(huì)覺(jué)得麥克斯韋好像沒(méi)那么偉大了。

其實(shí)不然，在麥克斯韋之前，電磁學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)有非常多的實(shí)驗(yàn)定律，但是這些定律哪些是根本，哪些是表象？如何從這一堆定律中選出最核心的幾個(gè)，然后建立一個(gè)完善自洽的模型解釋一切電磁學(xué)現(xiàn)象？這原本就是極為困難的事情。更不用說(shuō)麥克斯韋在沒(méi)有任何實(shí)驗(yàn)證據(jù)的情況下，憑借自己天才的數(shù)學(xué)能力和物理直覺(jué)直接修改了安培環(huán)路定理，修正了幾個(gè)定律之間的矛盾，然后還從中發(fā)現(xiàn)了電磁波。所以，絲毫沒(méi)有必要因?yàn)辂溈怂鬼f沒(méi)有發(fā)現(xiàn)方程組的全部方程而覺(jué)得他不夠偉大。

最后，如題所示，我這篇文章講的只是麥克斯韋方程組的積分篇，方程都是用積分是形式寫的。因?yàn)榉e分篇主要是從通量，從宏觀的角度來(lái)描述電磁學(xué)，所以相對(duì)比較容易理解。有積分篇那就意味著還有麥克斯韋方程組的微分篇，微分篇的內(nèi)容我下一篇文章再講。我這篇文章主要參考了《電動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論》（格里菲斯）和《麥克斯韋方程直觀》（Daniel Fleisch），大家想對(duì)麥克斯韋方程組做進(jìn)一步了解的可以看看這兩本書，需要電子檔的可以在后臺(tái)回復(fù)“麥克斯韋方程組”。

最美的方程，愿你能懂她的美~