（注：本文大部分素材取自網(wǎng)絡(luò)上《A Path Less Taken to the Peak of the Math World》一文，經(jīng)整理加工而成）。

0 引言

今天我們要講述一位韓國數(shù)學(xué)家的故事，他有一個很文藝的名字叫六月(許埈珥，英文全名：June Huh)。他的主要工作是將代數(shù)幾何的相關(guān)理論和技巧引入到組合數(shù)學(xué)中，跟合作者一起解決了組合數(shù)學(xué)中的一個重要猜想---Rota猜想。因為這項工作，六月最近受到邀請，出席2018年在巴西里約舉行的世界數(shù)學(xué)家大會并做45分鐘特邀報告。

(數(shù)學(xué)家許埈珥，圖片來源于網(wǎng)絡(luò))

六月目前是美國普林斯頓高等研究院的Clay Fellow，這個Fellow由美國克萊數(shù)學(xué)研究所提供資助，獎勵那些最有潛力的青年研究學(xué)者。此外，普林斯頓高等研究院也已經(jīng)給六月提供了更一個長期職位，據(jù)說這個職位此前僅給予過Voevodsky和吳寶珠，而這兩位后來都是Fields獎獲得者。于是有人預(yù)測，六月將是2018年或者2022年的Fields 獎候選人 (六月出生于1983年，到2022年的時候還不滿40歲，仍有獲獎資格)。

注：許埈珥是2022年Fields獎得主——2022年7月5日更新

六月并不是那種從小就是學(xué)霸，傳說中的別人家的孩子。他小學(xué)時成績平平，并且自認(rèn)為數(shù)學(xué)很糟糕，十多歲的時候曾夢想做詩人，二十四歲之前都不曉得自己要干嘛，更沒想過有一天會成為數(shù)學(xué)家。直到一次偶然的機會，他遇到了生命中的貴人，接觸到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)。這位貴人把他帶進(jìn)了核心的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，六月沉浸其中，刻苦專研，一步一步走向了數(shù)學(xué)的頂峰。

1 少年時期

六月出生于1983年的美國加州，那時他的父母正在加州讀研究生。六月兩歲的時候，父母帶他回到了韓國。六月的父親是統(tǒng)計學(xué)老師，母親是冷戰(zhàn)之后韓國的第一位俄語教授。六月念小學(xué)的時候，由于數(shù)學(xué)考試成績差，對數(shù)學(xué)很反感，一度認(rèn)為自己不擅長數(shù)學(xué)。十幾歲的時候他喜歡上詩詞文學(xué)，寫了很多的詩歌，還寫過兩篇中篇小說。2002年，六月進(jìn)入國立首爾大學(xué)開始他的大學(xué)生涯，這時他開始意識到做詩人并不能讓自己過上好日子，于是他又打算成為一名科學(xué)新聞工作者。在國立首爾大學(xué)，他主修天文和物理。

2 偶遇高人

大學(xué)生活在不知不覺中如流水般過去，轉(zhuǎn)眼到了畢業(yè)之年。這一年，六月24歲。也在這一年，日本最出名的數(shù)學(xué)家之一，廣中平佑（Heisuke Hironaka）訪問國立首爾大學(xué)。這位老廣可不得了，在70年代的日本和韓國，可是家喻戶曉的人物。老廣是1970年的Fields獎獲得者，他寫過一本非常有名的自傳書——《創(chuàng)造之門》，據(jù)說那一代的日本和韓國父母，都會把這本書送給孩子作禮物，希望可以把自己孩子培養(yǎng)成偉大的數(shù)學(xué)家。老廣的專業(yè)是代數(shù)幾何，他創(chuàng)造性的發(fā)展了另一位著名代數(shù)幾何學(xué)家扎里斯基（Zariski）在低維代數(shù)簇情形的工作，證明了特征為0的域上代數(shù)簇的奇點消解定理。法國高等研究院的戈洛莫夫（Gromov）曾評價，老廣的奇點消解定理是數(shù)學(xué)史上的獨特存在，是數(shù)學(xué)上那些最難超越或簡化的證明之一。

（日本數(shù)學(xué)界到目前為止共有三位Fields獎得主，除了老廣，還有之前的小平邦彥（Kodaira），以及之后的森重文(Mori)。這些日本數(shù)學(xué)家的共同特點是，都在數(shù)學(xué)中最深刻的代數(shù)幾何領(lǐng)域做出了最重要的結(jié)果，展現(xiàn)了日本人踏實，苦干的精神。）

2006年，老廣在國立首爾大學(xué)訪問期間，開設(shè)了一年的代數(shù)幾何課程，六月急著畢業(yè)，心想正好可以把老廣作為他準(zhǔn)備新聞報道的素材，于是就去參加了這個課程。一開始的時候，來聽課的有100多位學(xué)生，這其中包括了很多數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生。但幾個禮拜下來，所剩的學(xué)生就聊聊無幾了。六月想其他學(xué)生放棄的原因是老廣的課晦澀難懂，而他之所以能堅持聽課是因為他懷抱著不同的目的。不過，他確實也聽懂了一些簡單的例子，只要懂這些例子，在六月看來寫他的新聞報道就足夠用了。課后，六月就找老廣聊天，老廣向來對青年學(xué)子照顧有加，特別是在異國他鄉(xiāng)，還有年輕人主動找他。他們一起吃午飯，六月就利用午飯時間，從問一些私人問題開始，慢慢開始聊數(shù)學(xué)。

幾次下來，他們之間的關(guān)系也有了進(jìn)展。六月大學(xué)畢業(yè)了，老廣決定繼續(xù)在首爾大學(xué)再呆兩年。于是六月就決定讀老廣這個方向的數(shù)學(xué)研究生。這樣他們又有機會經(jīng)常在一起了，老廣偶爾回日本的時候，六月就跟著他，幫他拎行李，甚至還和老廣夫妻一起住在京都的公寓里，六月就睡在他們家的客廳。從首爾到京都，六月和老廣一起吃飯、散步、聊天，他們成為了忘年交。

（廣中平佑，六月和他妻子，圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）

六月也就有了很多機會跟老廣學(xué)數(shù)學(xué)，老廣從具體的例子開始，然后介紹自己的成名大作。老廣告訴六月，在證明了特征為0域上的奇點消解定理以后，他花了數(shù)十年來研究特征p的情形，這是目前一個主要的公開問題。老廣語重心長告訴他，他可是花了畢生精力來研究這個問題，老廣已經(jīng)把六月看成是自己的徒弟，他很希望六月能夠接過他的衣缽。

2009年，在老廣的勸說下，六月申請了幾十所美國大學(xué)的研究生院。他的申請書顯然比較薄弱，首先他本科專業(yè)不是數(shù)學(xué)，其次研究生課程上的也很少，并且這些研究生課程的成績也不咋地。唯一的優(yōu)勢，也就是有老廣這位數(shù)學(xué)泰斗給他寫了推薦信。結(jié)果最終只有一所學(xué)校愿意錄取他，伊利諾伊大學(xué)香檳分校。2009年的秋天，他正式成為了這所學(xué)校的研究生。

3. 初出茅廬

來到了伊利諾伊，六月開始了他的數(shù)學(xué)研究之旅，他花了六年時間，最終完成了Rota猜想的證明。這個問題是56年前由意大利數(shù)學(xué)家Rota提出的，起源于圖論。

圖論的研究對象就是圖，圖簡單來說就由頂點和邊構(gòu)成的集合。比如一個三角形就是由三個頂點，三條邊構(gòu)成的圖，四邊形、五邊形都是圖。圖是組合數(shù)學(xué)最基本的研究對象。數(shù)學(xué)家考慮這樣一個基本的問題。給定一張圖，給你q種不同的顏料，將這張圖上的所有頂點用這q種顏料來染色，要求是有邊相連的兩個頂點不能染上相同的顏色。問你一共有多少種不同的染色方法？

這其實是組合計數(shù)問題，比如對于三角形這樣一張圖，第一個頂點可以有q種染色選擇，與它相鄰的第一個頂點有q-1種選擇，那么剩下的最后一個頂點就只有q-2種選擇，所以共有q(q-1)(q-2)=q^3-3q^2+2q種不同染色方法，得到的這個數(shù)是關(guān)于q的多項式。這個多項式就定義為圖的染色多項式（chromatic polynomial）。

做一個練習(xí)，讀者可以嘗試計算一下一個四邊形的染色多項式是多少(答案是q^4-4q^3+6q^2-3q)。

圖的染色多項式的引進(jìn)，最初是為了用來解決著名的四色問題。數(shù)學(xué)家通過大量計算發(fā)現(xiàn)，圖的染色多項式本身也具有非常有趣的性質(zhì)，比如這個q^3-3q^2+q，它的每項系數(shù)分別是:1，-3，2。取絕對值后為：1，3，2。這個數(shù)列有兩個性質(zhì)。

（1）單峰值(unimodal)。也就是這個序列總是先遞增，到達(dá)某個最大值（頂峰）以后就一直遞減，不會再上升。

（2）對數(shù)凹的(log concave)。也就是在這個序列里面任取三個連續(xù)的數(shù)，這三個數(shù)總是滿足規(guī)則：左右兩個數(shù)的乘積小于中間數(shù)的平方。

讀者可以去驗證，上面提到的這兩個染色多項式都滿足這樣的性質(zhì)。這是數(shù)學(xué)家做了大量計算以后，總結(jié)出來的規(guī)律，這個規(guī)律被稱為“Read猜想”。六月做的第一件事情就是證明了這個猜想。

六月剛到伊利諾伊的時候，其實并不知道有這樣一個問題，跟大多數(shù)一年級的研究新生一樣，他要上很多的課程，沒有太多時間做研究。但是由于廣中平佑對他有過三年的指點，他開始有一些想法。在那年冬天，六月把從老廣那里學(xué)到的奇點理論技巧巧妙地運用到圖上面。在這過程中，他發(fā)現(xiàn)在圖上構(gòu)造奇點，就可以利用奇點的相關(guān)理論來推導(dǎo)出原來這個圖的很多性質(zhì)。例如就可以解釋為什么染色多項式是對數(shù)凹的。發(fā)現(xiàn)這樣的結(jié)果后，六月異常興奮，于是就去查閱圖論的文獻(xiàn)，是否有前人證明過這樣的結(jié)論。他這才發(fā)現(xiàn)，原來他已經(jīng)在不知不覺中證明圖論中的一個重要猜想。

六月把這個Read 猜想的證明貼到了網(wǎng)上以后，密歇根大學(xué)邀請六月做一個演講，專門介紹這一工作。2010年12月3日，他在一個大報告廳里開始他的演講，臺下坐滿了數(shù)學(xué)家，其中也包括那些在一年前還果斷拒絕他的研究生申請的數(shù)學(xué)家。在這一天，六月的數(shù)學(xué)天賦終于得到了認(rèn)可?！八难葜v優(yōu)美清晰、準(zhǔn)確到位，對于一個低年級研究生來說，能講的如此透徹，實在難能可貴！”密歇根大學(xué)一位教授這樣評價道。

4 初始Rota猜想

在那次報告以后，密歇根大學(xué)向他伸出橄欖枝。2011年，六月就轉(zhuǎn)學(xué)到了密歇根大學(xué)。這時，六月發(fā)現(xiàn)Read 猜想其實是一個更宏大的問題Rota猜想的一個特例。

Rota猜想跟Read猜想類似，但是它研究的對象不再是圖，而是比圖更抽象的組合對象，稱為“擬矩陣（matroids）”（一個圖可以看成是特殊類型的擬矩陣，擬矩陣的概念是由美國數(shù)學(xué)家惠特尼（Whitney）引進(jìn)的，惠特尼在幾何拓?fù)浞矫嫔铣删透鼮槿怂?，但他早年其實是做圖論的，這也是一個傳奇數(shù)學(xué)家。限于篇幅，我們也不給出擬矩陣的具體定義）?？傊?，從擬矩陣出發(fā)也可以定義出一個多項式，稱為“特征多項式（characteristic polynomial）”。Rota猜想可以表述為任意擬矩陣的特征多項式的系數(shù)總是對數(shù)凹的(log concave)。

這個猜想的陳述如此簡單，但是證明卻極其困難。一開始，六月打算把他用來證明Read猜想的奇點理論方法直接用到Rota猜想上，但他很快發(fā)現(xiàn)對于更抽象的擬矩陣，這個方法不湊效了。這次失敗，讓六月開始重新思考認(rèn)識擬矩陣背后的隱藏的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

在數(shù)學(xué)上，如果我們能夠建立兩個不同領(lǐng)域之間的聯(lián)系，就可以把其中一個理論的結(jié)論和方法運用到另一個領(lǐng)域中，這也往往會在另一個領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象。這一點在當(dāng)代數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域就很常見（比如超弦理論中通過弦對偶的思想，可以把不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域聯(lián)系起來，這也產(chǎn)生了許多新的美妙的數(shù)學(xué)結(jié)果，關(guān)于這一點，我們將在以后寫專題論述）。六月在Rota猜想上的工作，正是涉及到與另外一個深刻優(yōu)美的數(shù)學(xué)領(lǐng)域—霍奇理論（Hodge theory）的聯(lián)系?；羝胬碚撌?950年由蘇格蘭數(shù)學(xué)家威廉姆霍奇（William Hodge）建立起來的?；羝胬碚摰难芯繉ο笫谴鷶?shù)簇的上同調(diào)環(huán)。從研究對象上看，霍奇理論似乎沒法用來研究圖或者更一般擬矩陣這些離散的對象。但是霍奇理論提出后的60多年來，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)在其他的框架下找到了很多類似的霍奇類型結(jié)構(gòu)，這其中包括組合框架下的情形。六月就開始思考霍奇理論中的結(jié)構(gòu)關(guān)系是否能用來解釋這個對數(shù)凹（log concave）性質(zhì)？在一個陌生的領(lǐng)域?qū)ふ蚁嗨频臄?shù)學(xué)概念并不是一件容易的事情。這就好比尋找地外生命----我們只知道生命有哪些特征，但是卻不知道新的生命會是什么樣子。

5 完美合作

俄亥俄州立大學(xué)的數(shù)學(xué)家卡茨（Eric Katz）早在2011年的時候，就開始關(guān)注到六月證明Read 猜想的工作，那個時候，六月對于證明更一般的Rota猜想還沒有任何頭緒?？ù恼J(rèn)真研讀了六月證明Read猜想的原文，他發(fā)現(xiàn)如果將證明中的一個特殊結(jié)論去掉，就可以用這個辦法來給出Rota猜想的部分情形的證明。于是他跟六月聯(lián)系，在這之后幾個月，他們很快就一起合作完成了一篇論文(發(fā)表于2012年)，在這篇論文里，他們證明了對于一小類擬矩陣-----可實現(xiàn)擬矩陣（realizable matroids）的情形，Rota猜想成立。

但是可實現(xiàn)擬矩陣只是很小一部分，大多數(shù)的擬矩陣都是不可實現(xiàn)的（nonrealizable）。我們提到的起源于1950年的代數(shù)簇的霍奇理論，它的研究對象是代數(shù)簇上的上同調(diào)環(huán)。如果想證明霍奇型結(jié)構(gòu)可以解釋擬矩陣的Rota猜想，首先得構(gòu)造擬矩陣上的類似于上同調(diào)之類的東西，對于可實現(xiàn)的擬矩陣，這個構(gòu)造有一個非常直接的方式，這也就是為什么卡茨和六月能很快證明可實現(xiàn)擬矩陣情形的原因。而對于不可實現(xiàn)的擬矩陣，他們依然無從下手。

四年來，六月和卡茨一直嘗試定義不可實現(xiàn)擬矩陣上的有意義的霍奇結(jié)構(gòu)。在這期間，他們注意到霍奇理論的一個特殊方面----霍奇指標(biāo)定理或許就足夠用來解釋擬矩陣的對數(shù)凹性質(zhì)。

就在這個時候，另一位數(shù)學(xué)家Adiprasito加入進(jìn)來了。Adiprasito是以色列耶路撒冷希伯來大學(xué)（Hebrew University of Jerusalem）的數(shù)學(xué)家。2015年，他來到普林斯頓高等研究院訪問六月，Adiprasito意識到雖然霍奇指標(biāo)定理就可以用來解釋對數(shù)凹性質(zhì)，但是要對所有擬矩陣證明霍奇指標(biāo)定理成立需要證明出更多的結(jié)論，他們把這些結(jié)論統(tǒng)一在一起稱作“凱勒包（Kaehler package）”（凱勒是20世紀(jì)德國大數(shù)學(xué)家）。當(dāng)然他們最終完成了這些結(jié)論的證明，從而解決了Rota猜想。2015年11月，他們?nèi)税盐恼沦N在了arxiv上，此后在數(shù)學(xué)界引起了一陣軒然大波。他們的工作提供了霍奇理論的組合圖景，開辟了一條解決組合數(shù)學(xué)問題的嶄新的道路。

這項工作也迅速提升了六月的國際數(shù)學(xué)形象。除了獲得了普林斯頓高等研究院的長期職位外，他也被認(rèn)為是Fields 獎的有力競爭者。

6 后記

從一個沒有數(shù)學(xué)背景的外行，到做出一流數(shù)學(xué)成果的科學(xué)家，六月的成長之路是非典型的。不過六月也是幸運的，那就是能夠在人生的大好年華，遇上廣中平佑，從此改變了一生的命運。就像令狐沖遇見了風(fēng)清揚，在絕世高手身邊，不知不覺中早已習(xí)得一身武藝。一旦有了用武之地，便可一展身手。

再來說說這位風(fēng)清揚，老廣今年已經(jīng)86歲了，他依然沒閑著。2017年3月，他在過去哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系的個人主頁上，貼出了一篇長篇論文，宣稱解決了前面提到的特征p域上的任意維數(shù)代數(shù)簇的奇點消解問題，目前文章正在審查中。

他向我們展示了一位數(shù)學(xué)家的努力和堅持，為了完成一個定理的證明，他可以為之奮斗，傾其一生。

原標(biāo)題：《?剛獲得菲爾茲獎的數(shù)學(xué)家許埈珥的成長之路 ： 一個令狐沖遇上風(fēng)清揚的故事》

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