【編者按】10月15日，2022年北京大學數(shù)學英才班舉行導師見面會，英才班導師代表袁新意教授發(fā)言。袁新意教授在演講中表示，學得太多、選課太多并不是一個好現(xiàn)象?！翱吹接行┩瑢W學得比較快，你也不要慌張，聞道有先后，人這一生是很長的?！倍皵?shù)學的所有內(nèi)容都來自于定義，當你足夠熟悉定義，最終會變成你的直覺”。對數(shù)學有著深厚興趣、在數(shù)學領(lǐng)域有突出特長且有志于從事數(shù)學研究的98名同學加入了北大本屆數(shù)學英才班。以下是袁新意教授演講的全文：

2022年北京大學數(shù)學英才班導師袁新意教授

各位領(lǐng)導，各位老師，各位同學：

大家好！我很榮幸作為導師代表在這里發(fā)言。我發(fā)言的主要聽眾是同學們，因為你們是今天會議的主角。我想給同學們提三點建議，每一個建議有一個關(guān)鍵詞。這些建議是我20年前在這里學習時所經(jīng)歷過的，有方法或思想上的掙扎，同時也是一些經(jīng)驗的分享。

第一個關(guān)鍵詞是理想，也就是將來你想要干什么。英才班的宗旨是希望培養(yǎng)數(shù)學家或者與數(shù)學相關(guān)的研究人才，但我認為即使你將來從事的不是數(shù)學研究，是與數(shù)學相關(guān)的杰出工作，甚至是跟數(shù)學無關(guān)的杰出工作，那你依然非常成功，那也依然是英才班的成功。

現(xiàn)在的你們或許還沒有想過未來要做什么，但當你在大二或大三的時候，就會去思考：我到底要不要做數(shù)學？要不要做純數(shù)學？要不要做應(yīng)用數(shù)學？也會思考是否要轉(zhuǎn)行投身計算機、經(jīng)濟、金融或者其他的行業(yè)。這是大部分人的必經(jīng)之路，我也有過這樣的掙扎。如果你碰到了這個階段，請不要慌張?？梢愿瑢W交流，跟學長交流，也可以找老師交流。

對此，我的建議是：如果你不知道將來要做什么，沒法樹立一個十年左右的長遠目標，那么你可以樹立一個短期的目標。比如：未來兩年你要干什么？畢業(yè)的時候你想干什么？是去業(yè)界工作，出國深造，還是留在國內(nèi)讀研？如果讀研，那么讀哪個方向的研究生？這種短期目標是比較容易樹立的，你的心里也比較容易清楚自己的短期目標是什么。樹立好短期目標之后，就為短期目標而努力，這樣就不會荒廢時光。如果你非常迷茫，不知道要干什么，就很有可能荒廢了。大學4年稍縱即逝，如果因為迷茫導致整日玩游戲浪費時間，等到保研或是申請出國時發(fā)現(xiàn)自己的GPA很糟糕，那是非常可惜的。所以，樹立短期目標并為之奮斗非常重要，等到這個短期目標達成時再樹立下一個短期目標，直到你清楚自己的長期目標是什么。

第二個關(guān)鍵詞是踏實，也就是學習上的踏實。北大數(shù)院有著優(yōu)良的學風，老師們倍感欣慰，大家在學習方面積極向上，甚至有點內(nèi)卷。但是學得太多、選課太多并不是一個好現(xiàn)象。低年級的同學選高年級課程和研究生課程；高年級的同學選研究生課程和前沿討論班。這樣選的東西太多，成績單上的課程太多，甚至還有很多不在成績單上的課程。結(jié)果導致精力和時間不足，每一門課都沒學好。連一些基礎(chǔ)性的課程都沒有學好，更別說那些高級課程了。對此，我給大家建議是，選課時要量力而為。我們會贊成你在低年級時選高年級的課，但是你需要自己確定自己是否真正把低年級的內(nèi)容弄懂了，是否把高級課程的先修課程內(nèi)化于心了，這樣你們才能選高級課程。上臺階需要一步一步地走，無論快慢，都得一步一步地攀登。

數(shù)院的同學們都非常有天賦，但是不管怎樣，總是有些人比其他人向前邁得更早，邁得更快。每個年級都有幾個明星學生，他們有能力，也有自己的計劃，學了很多高級的課程，這是好事。但是其他同學沒有必要去效仿和攀比，每個人的背景、品味和特點都是不同的，效仿和攀比可能會導致跟不上。切忌盲目跟風，耽誤自己的時間和精力，最后可能會因沒學好而對自己的能力喪失了信心。看到有些同學學得比較快，你也不要慌張，聞道有先后，人這一生是很長的。

第三個關(guān)鍵詞是思想，即數(shù)學中的思想。中學數(shù)學的主旋律是刷題，而刷題的目的是為了解題時解得更快更準，從而在考試或競賽中得高分。但學習高等數(shù)學的時候，同學們要改變這個習慣。高等數(shù)學更重視的不是解題技巧，而是思想，至少學習的一開始更重要的是把握數(shù)學思想。

學習時不要忙著做題，而應(yīng)該在看到定義的時候，先想一想這個定義的背后到底說了什么，把抽象的數(shù)學定義背后的原理轉(zhuǎn)化為自己直覺中的東西。數(shù)學的所有內(nèi)容都來自于定義，當你足夠熟悉定義，最終會變成你的直覺。例如，在理解數(shù)學分析里極限的定義時，你需要仔細地推敲epsilon-delta語言，直到最后熟悉了，直覺中認同這個語言是“無限接近”的同義詞。當然，這個轉(zhuǎn)變的過程可能需要通過做適量的習題達到。你可以嘗試在學每一門課時，例如復變、實變、抽代時問問自己：最重要的定義是什么？每一門課里重要的定義只有幾個，把這些定義以及背后的數(shù)學邏輯嚴格地記下來，最后把它轉(zhuǎn)化成你的直覺。

之后再問一下自己最重要的定理是什么？定理和定義同樣重要，很多時候定義是為定理服務(wù)的。這里不是問定理怎么證，而是問定理的陳述是什么？多想一想定理的條件是什么，結(jié)果是什么？先不要著急去看它的證明，定理的證明有時對你理解定理有意義，有時候卻沒有意義，需要你自己去分辨?？戳硕x和定理之后再看推論，推論通常會體現(xiàn)定理的重要性，用定理證明推論通常如砍瓜切菜般地愉悅。推論的證明要看看，定理的證明選擇性地看。引理最后看，因為引理通常是為證明定理服務(wù)的，所以通常是最不重要的。而且引理看起來可能是最痛苦的，有時候條件很麻煩，結(jié)果也很麻煩，整個邏輯可能會繞很久，所以放到最后看。在定理和引理之間還有命題，命題比引理稍重要一點，有時候會幫助你理解定義和定理。當你把這些都理清后，就可以思考是否能把一門課的內(nèi)容都串聯(lián)起來，300頁的書能還原出幾頁的知識點就可以了。先把最重要的定義默寫下來，再把最重要的定理和推論都默寫下來，試圖把它連成一串，把邏輯關(guān)系用一個圖來表示。這樣，你在思想上就把握了這門課。

好的，我就分享到這里，謝謝大家。

（本文首發(fā)于北京大學數(shù)學科學學院微信公眾號，原標題為《導師代表袁新意教授在2022年英才班導師見面會上的發(fā)言》，澎湃科技獲授權(quán)刊發(fā)。）