【編者按】10月15日，2022年北京大學(xué)數(shù)學(xué)英才班舉行導(dǎo)師見(jiàn)面會(huì)，英才班導(dǎo)師代表袁新意教授發(fā)言。袁新意教授在演講中表示，學(xué)得太多、選課太多并不是一個(gè)好現(xiàn)象。“看到有些同學(xué)學(xué)得比較快，你也不要慌張，聞道有先后，人這一生是很長(zhǎng)的。”而“數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容都來(lái)自于定義，當(dāng)你足夠熟悉定義，最終會(huì)變成你的直覺(jué)”。對(duì)數(shù)學(xué)有著深厚興趣、在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有突出特長(zhǎng)且有志于從事數(shù)學(xué)研究的98名同學(xué)加入了北大本屆數(shù)學(xué)英才班。以下是袁新意教授演講的全文：

2022年北京大學(xué)數(shù)學(xué)英才班導(dǎo)師袁新意教授

各位領(lǐng)導(dǎo)，各位老師，各位同學(xué)：

大家好！我很榮幸作為導(dǎo)師代表在這里發(fā)言。我發(fā)言的主要聽(tīng)眾是同學(xué)們，因?yàn)槟銈兪墙裉鞎?huì)議的主角。我想給同學(xué)們提三點(diǎn)建議，每一個(gè)建議有一個(gè)關(guān)鍵詞。這些建議是我20年前在這里學(xué)習(xí)時(shí)所經(jīng)歷過(guò)的，有方法或思想上的掙扎，同時(shí)也是一些經(jīng)驗(yàn)的分享。

第一個(gè)關(guān)鍵詞是理想，也就是將來(lái)你想要干什么。英才班的宗旨是希望培養(yǎng)數(shù)學(xué)家或者與數(shù)學(xué)相關(guān)的研究人才，但我認(rèn)為即使你將來(lái)從事的不是數(shù)學(xué)研究，是與數(shù)學(xué)相關(guān)的杰出工作，甚至是跟數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的杰出工作，那你依然非常成功，那也依然是英才班的成功。

現(xiàn)在的你們或許還沒(méi)有想過(guò)未來(lái)要做什么，但當(dāng)你在大二或大三的時(shí)候，就會(huì)去思考：我到底要不要做數(shù)學(xué)？要不要做純數(shù)學(xué)？要不要做應(yīng)用數(shù)學(xué)？也會(huì)思考是否要轉(zhuǎn)行投身計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)、金融或者其他的行業(yè)。這是大部分人的必經(jīng)之路，我也有過(guò)這樣的掙扎。如果你碰到了這個(gè)階段，請(qǐng)不要慌張?？梢愿瑢W(xué)交流，跟學(xué)長(zhǎng)交流，也可以找老師交流。

對(duì)此，我的建議是：如果你不知道將來(lái)要做什么，沒(méi)法樹立一個(gè)十年左右的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)，那么你可以樹立一個(gè)短期的目標(biāo)。比如：未來(lái)兩年你要干什么？畢業(yè)的時(shí)候你想干什么？是去業(yè)界工作，出國(guó)深造，還是留在國(guó)內(nèi)讀研？如果讀研，那么讀哪個(gè)方向的研究生？這種短期目標(biāo)是比較容易樹立的，你的心里也比較容易清楚自己的短期目標(biāo)是什么。樹立好短期目標(biāo)之后，就為短期目標(biāo)而努力，這樣就不會(huì)荒廢時(shí)光。如果你非常迷茫，不知道要干什么，就很有可能荒廢了。大學(xué)4年稍縱即逝，如果因?yàn)槊悦?dǎo)致整日玩游戲浪費(fèi)時(shí)間，等到保研或是申請(qǐng)出國(guó)時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的GPA很糟糕，那是非?？上У摹Ｋ?，樹立短期目標(biāo)并為之奮斗非常重要，等到這個(gè)短期目標(biāo)達(dá)成時(shí)再樹立下一個(gè)短期目標(biāo)，直到你清楚自己的長(zhǎng)期目標(biāo)是什么。

第二個(gè)關(guān)鍵詞是踏實(shí)，也就是學(xué)習(xí)上的踏實(shí)。北大數(shù)院有著優(yōu)良的學(xué)風(fēng)，老師們倍感欣慰，大家在學(xué)習(xí)方面積極向上，甚至有點(diǎn)內(nèi)卷。但是學(xué)得太多、選課太多并不是一個(gè)好現(xiàn)象。低年級(jí)的同學(xué)選高年級(jí)課程和研究生課程；高年級(jí)的同學(xué)選研究生課程和前沿討論班。這樣選的東西太多，成績(jī)單上的課程太多，甚至還有很多不在成績(jī)單上的課程。結(jié)果導(dǎo)致精力和時(shí)間不足，每一門課都沒(méi)學(xué)好。連一些基礎(chǔ)性的課程都沒(méi)有學(xué)好，更別說(shuō)那些高級(jí)課程了。對(duì)此，我給大家建議是，選課時(shí)要量力而為。我們會(huì)贊成你在低年級(jí)時(shí)選高年級(jí)的課，但是你需要自己確定自己是否真正把低年級(jí)的內(nèi)容弄懂了，是否把高級(jí)課程的先修課程內(nèi)化于心了，這樣你們才能選高級(jí)課程。上臺(tái)階需要一步一步地走，無(wú)論快慢，都得一步一步地攀登。

數(shù)院的同學(xué)們都非常有天賦，但是不管怎樣，總是有些人比其他人向前邁得更早，邁得更快。每個(gè)年級(jí)都有幾個(gè)明星學(xué)生，他們有能力，也有自己的計(jì)劃，學(xué)了很多高級(jí)的課程，這是好事。但是其他同學(xué)沒(méi)有必要去效仿和攀比，每個(gè)人的背景、品味和特點(diǎn)都是不同的，效仿和攀比可能會(huì)導(dǎo)致跟不上。切忌盲目跟風(fēng)，耽誤自己的時(shí)間和精力，最后可能會(huì)因沒(méi)學(xué)好而對(duì)自己的能力喪失了信心。看到有些同學(xué)學(xué)得比較快，你也不要慌張，聞道有先后，人這一生是很長(zhǎng)的。

第三個(gè)關(guān)鍵詞是思想，即數(shù)學(xué)中的思想。中學(xué)數(shù)學(xué)的主旋律是刷題，而刷題的目的是為了解題時(shí)解得更快更準(zhǔn)，從而在考試或競(jìng)賽中得高分。但學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時(shí)候，同學(xué)們要改變這個(gè)習(xí)慣。高等數(shù)學(xué)更重視的不是解題技巧，而是思想，至少學(xué)習(xí)的一開(kāi)始更重要的是把握數(shù)學(xué)思想。

學(xué)習(xí)時(shí)不要忙著做題，而應(yīng)該在看到定義的時(shí)候，先想一想這個(gè)定義的背后到底說(shuō)了什么，把抽象的數(shù)學(xué)定義背后的原理轉(zhuǎn)化為自己直覺(jué)中的東西。數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容都來(lái)自于定義，當(dāng)你足夠熟悉定義，最終會(huì)變成你的直覺(jué)。例如，在理解數(shù)學(xué)分析里極限的定義時(shí)，你需要仔細(xì)地推敲epsilon-delta語(yǔ)言，直到最后熟悉了，直覺(jué)中認(rèn)同這個(gè)語(yǔ)言是“無(wú)限接近”的同義詞。當(dāng)然，這個(gè)轉(zhuǎn)變的過(guò)程可能需要通過(guò)做適量的習(xí)題達(dá)到。你可以嘗試在學(xué)每一門課時(shí)，例如復(fù)變、實(shí)變、抽代時(shí)問(wèn)問(wèn)自己：最重要的定義是什么？每一門課里重要的定義只有幾個(gè)，把這些定義以及背后的數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)格地記下來(lái)，最后把它轉(zhuǎn)化成你的直覺(jué)。

之后再問(wèn)一下自己最重要的定理是什么？定理和定義同樣重要，很多時(shí)候定義是為定理服務(wù)的。這里不是問(wèn)定理怎么證，而是問(wèn)定理的陳述是什么？多想一想定理的條件是什么，結(jié)果是什么？先不要著急去看它的證明，定理的證明有時(shí)對(duì)你理解定理有意義，有時(shí)候卻沒(méi)有意義，需要你自己去分辨?？戳硕x和定理之后再看推論，推論通常會(huì)體現(xiàn)定理的重要性，用定理證明推論通常如砍瓜切菜般地愉悅。推論的證明要看看，定理的證明選擇性地看。引理最后看，因?yàn)橐硗ǔＪ菫樽C明定理服務(wù)的，所以通常是最不重要的。而且引理看起來(lái)可能是最痛苦的，有時(shí)候條件很麻煩，結(jié)果也很麻煩，整個(gè)邏輯可能會(huì)繞很久，所以放到最后看。在定理和引理之間還有命題，命題比引理稍重要一點(diǎn)，有時(shí)候會(huì)幫助你理解定義和定理。當(dāng)你把這些都理清后，就可以思考是否能把一門課的內(nèi)容都串聯(lián)起來(lái)，300頁(yè)的書能還原出幾頁(yè)的知識(shí)點(diǎn)就可以了。先把最重要的定義默寫下來(lái)，再把最重要的定理和推論都默寫下來(lái)，試圖把它連成一串，把邏輯關(guān)系用一個(gè)圖來(lái)表示。這樣，你在思想上就把握了這門課。

好的，我就分享到這里，謝謝大家。

（本文首發(fā)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院微信公眾號(hào)，原標(biāo)題為《導(dǎo)師代表袁新意教授在2022年英才班導(dǎo)師見(jiàn)面會(huì)上的發(fā)言》，澎湃科技獲授權(quán)刊發(fā)。）